بررسی ارتعاشات غیرخطی و پدیده دو شاخه شدگی در یک سیستم دو درجه آزادی

در بررسی ارتعاشات سازه¬ها، مدل¬سازی خطی ممکن است غیردقیق و یا گمراه¬کننده باشد. وجود خصوصیات غیرخطی در یک سیستم موجب بروز رفتارهایی در پاسخ آن می¬شود که مدل¬سازی خطی، به دلیل نادیده گرفتن رفتارهای غیرخطی مختلف، توانایی پیش بینی و توجیه آن را ندارد. در این پایان¬نامه به بررسی و تحلیل ارتعاشات غیرخطی و پایداری یک سیستم دو درجه آزادی شامل سیستم اصلی و جاذب، در حالت تشدید هم¬زمان ثانویه و داخلی و همچنین تشدید هم¬زمان اولیه و داخلی، تحت تحریک خارجی، پرداخته می¬شود. سیستم مورد بررسی با جرم، فنر و دمپر مدل¬سازی شده است که فنرها و دمپرهای آن به صورت غیرخطی و از مرتبه سه درنظر گرفته شده¬اند. نیروی تحریک خارجی به سیستم اصلی وارد می¬شود. معادلات حرکت حاکم بر سیستم با تکیه بر قانون دوم نیوتون استخراج و برای حل این معادلات از روش مقیاس زمانی متعدد، که یکی از روش¬های اغتشاشی در حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی است، استفاده شده است. پس از حل معادلات و استخراج ترم¬های سکولار در تشدید هم¬زمان مورد بررسی، معادلات پاسخ فرکانسی با توجه به مقادیر دامنه سیستم اصلی و جاذب در سه حالت به¬ دست آمده و در ادامه تاثیر پارامترهای سیستم روی دامنه سیستم اصلی و همچنین پایداری پاسخ حالت دائم و انشعابات گره-زینی بررسی شده است. از آنجایی که در سیستم¬های غیرخطی با افزایش دامنه امکان پدیده پرش وجود دارد، محدوده پایداری و پارامتر تنظیم که منجر به ایجاد سه¬پاسخ برای دامنه سیستم اصلی می¬شود، در دو حالت با جاذب و بدون جاذب، تعیین گردیده است. در ادامه، به بررسی امکان به وجود آمدن پدیده دو شاخه¬شدگی در سیستم پرداخته شده است. با تعریف متغیرهای حالت، معادلات سیستم در فضای حالت بیان می¬شوند. حل این معادلات به روش رانگ¬کوتا مرتبه چهار در نرم¬افزار matlab انجام شده است. در بررسی و به دست آوردن نمودار دوشاخه شدگی، نیاز به مشخص کردن پارامتر دوشاخه شدگی (پارامتر کنترل) می باشد. با انتخاب فرکانس تحریک بدون بعد به عنوان پارامتر کنترلی، نمودار دو شاخه¬شدگی ترسیم می¬گردد. سپس از نمودارهای نگاشت پوانکاره، صفحه فاز و پاسخ زمانی به¬ازای مقادیر مختلف پارامتر کنترلی، به منظور بررسی حرکت¬های پریودیک، شبه پریودیک و آشوب استفاده می¬شود. طراحی سیستم با توجه با این نمودارها برای اجتناب از قرارگرفتن در مناطق آشوبناک، صورت می پذیرد.